Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$
（1）求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角及向量$\overrightarrow{b}$在向量$\overrightarrow{a}$方向上的投影；
（2）求|2$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|的值；
（3）若向量$\overrightarrow{c}$=3$\overrightarrow{a}$+5$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=m$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}∥\overrightarrow{d}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由$，（{\vec a-\vec b}）⊥\vec a$求出两向量$\vec a，\vec b$的夹角，再由射影定义可得；
（2）利用公式${\vec a^2}={|{\vec a}|^2}$可求得向量的模；
（3）利用向共线定理，即若$\vec a∥\vec b$，则存在实数λ，使得$\vec a=λ\vec b$成立，由此利用向量相等可得参数值．

解答 解：（1）因为$（{\vec a-\vec b}）⊥\vec a$，所以$（{\vec a-\vec b}）•\vec a=0⇒\vec b•\vec a={a^2}=1$，
所以$cosθ=\frac{\vec b•\vec a}{{|{\vec b|•|\vec a}|}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}⇒θ=\frac{π}{4}$，向量$\vec b$在向量$\vec a$方向上的投影为$\frac{\vec b•\vec a}{{|{\vec a}|}}=1$，
（2）$|{2\vec a-\vec b}|=\sqrt{4{a^2}-4\vec a•\vec b+{{\vec b}^2}}=\sqrt{4-4+2}=\sqrt{2}$；
（3）因为$\vec c∥\vec b$，所以$\vec c=λ\vec d$，所以$3\vec a+5\vec b=λ（{m\vec a-3\vec b}）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{3=λm}\\{5=-3λ}\end{array}$，解得$m=-\frac{9}{5}$．

点评 本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角以及向量的模的求法，考查计算能力．