Question

15．法国数学家棣莫弗，A．（De Moivre，Abraham）证明了这样一个结论（也称棣莫弗定理）（cosα+isinα）ⁿ=cos（nα）+isin（nα）（这里i为虚数单位，n为正整数），应用此结论求下面式子的值
${C}_{7}^{0}$（cos$\frac{π}{7}$）⁷-${C}_{7}^{2}$（cos$\frac{π}{7}$）⁵（sin$\frac{π}{7}$）²+${C}_{7}^{4}$（cos$\frac{π}{7}$）³（sin$\frac{π}{7}$）⁴-${C}_{7}^{6}$（cos$\frac{π}{7}$）（sin$\frac{π}{7}$）⁶=-1．

Answer 1

分析 ${C}_{7}^{0}$（cos$\frac{π}{7}$）⁷-${C}_{7}^{2}$（cos$\frac{π}{7}$）⁵（sin$\frac{π}{7}$）²+${C}_{7}^{4}$（cos$\frac{π}{7}$）³（sin$\frac{π}{7}$）⁴-${C}_{7}^{6}$（cos$\frac{π}{7}$）（sin$\frac{π}{7}$）⁶=$\frac{1}{2}$[（cos$\frac{π}{7}$+isin$\frac{π}{7}$）⁷+（cos$\frac{π}{7}$-isin$\frac{π}{7}$）⁷]，结合棣莫弗定理，可得答案．

解答 解：${C}_{7}^{0}$（cos$\frac{π}{7}$）⁷-${C}_{7}^{2}$（cos$\frac{π}{7}$）⁵（sin$\frac{π}{7}$）²+${C}_{7}^{4}$（cos$\frac{π}{7}$）³（sin$\frac{π}{7}$）⁴-${C}_{7}^{6}$（cos$\frac{π}{7}$）（sin$\frac{π}{7}$）⁶=$\frac{1}{2}$[（cos$\frac{π}{7}$+isin$\frac{π}{7}$）⁷+（cos$\frac{π}{7}$-isin$\frac{π}{7}$）⁷]=$\frac{1}{2}$[（cosπ+isinπ）+（cosπ-isinπ）]=cosπ=-1，
故答案为：-1

点评 本题考查的知识点是二项式定理，三角函数的求值，棣莫弗定理，难度中档．