Question

设数列{a_n}满足a₁=1，a_n-a_n-1=2^n-1，（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=n（a_n+1），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用“累加求和”、等比数列的前n项和公式即可得出；
（II）利用“错位相减”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n-a_n-1=2^n-1，（n≥2）．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2^n-1+2^n-2+…+2+1=

2n-1

2-1

=2ⁿ-1，n=1也成立．
∴a_n=2ⁿ-1．
（II）b_n=n（a_n+1）=n•2ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2S_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2•(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴Sn=(n-1)•2n+1+2．

点评：本题考查了“累加求和”、“错位相减”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．