Question

1．已知f（x）=log_ax，g（x）=log_a（2x+t-2）²，（a＞0，a≠1，t∈R）．
（1）当t=4，x∈[1，2]时F（x）=g（x）-f（x）有最小值为2，求a的值；
（2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．
（备注：函数y=x+$\frac{1}{x}$在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增）．

Answer 1

分析 （1）化简成函数，可得函数是对数的复合函数，对底数进行讨论，利用对数函数的性质即可求解．
（2）要使f（x）≥g（x）恒成立，利用对数函数的单调性，分离参数，可求实数t的取值范围．

解答 解：由题意：f（x）=log_ax，g（x）=log_a（2x+t-2）²，（a＞0，a≠1，t∈R）．
那么：F（x）=g（x）-f（x）=log_a（2x+t-2）²-log_ax=log_a$\frac{（2x+t-2）^{2}}{x}$，
当t=4时，F（x）=$lo{g}_{a}\frac{4（x+1）^{2}}{x}$，x∈[1，2]，
设h（x）=$\frac{4（x+1）^{2}}{x}$=$4（x+\frac{1}{x}+2）$，x∈[1，2]，则：F（x）=log_ah（x）．
由于y=x+$\frac{1}{x}$在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，
∴h（x）在x∈[1，2]上是增函数．
∴h（x）的最大值为h（2）_max=18，
h（x）的最小值为h（1）_min=16，
当0＜a＜1时，F（x）是减函数，F（x）的最小值为F（x）_min=log_a18=2，
解得：a=$3\sqrt{2}$（不符合）
当a＞1时，F（x）是增函数，F（x）的最小值为F（x）_min=log_a16=2，
解得：a=4，满足题意．
因此a的值为4．
（2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，
那么：log_ax≥log_a（2x+t-2）²恒成立，即$\sqrt{x}≤（2x+t-2）$在x∈[1，2]时恒成立
∴t≥-2x$+\sqrt{x}$+2．
令u（x）=-2x$+\sqrt{x}$+2=-2（$\sqrt{x}-\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，
∵x∈[1，2]，
∴$\sqrt{x}∈[1，\sqrt{2}]$
当$\sqrt{x}=1$时，u（x）取得最大值为u（x）_max=u（1）=1
故得实数t的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题主要考查了对数函数的值域求法以及利用单调性解恒等式成立的问题，属于中档题．