Question

7．已知数列{a_n}是公差为2的等差数列，且a₁，a₄，a₁₃成等比数列，数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$}是首项为1，公比为3的等比数列．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n+b_n}的前n项和R_n，若不等式$\frac{{R}_{n}}{n}$≤λ•3ⁿ+n+3对n∈N*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}是公差为2的等差数列，a₁，a₄，a₁₃成等比数列，d=2${（{a_1}+3d）^2}={a_1}（{a_1}+12d）$求得a₁，根据等差数列通项公式即可求得a_n，由$\frac{b_n}{a_n}={3^{n-1}}$，将a_n，的通项公式代入即可求得数列{b_n}的通项公式；
（2）由（1）可知，利用乘以公比“错位相减法”求得数列{b_n}前n项和，求得数列{a_n}的前n项和，即可求得R_n，根据式$\frac{{R}_{n}}{n}$≤λ•3ⁿ+n+3，采用分离变量$λ≥1-\frac{1}{3^n}$，根据函数的单调性，求λ的取值范围．

解答 解：（1）依题意得d=2${（{a_1}+3d）^2}={a_1}（{a_1}+12d）$…（2分）
解得a₁=3…（3分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1，即a_n=2n+1．       …（4分）
又数列$\left\{{\frac{b_n}{a_n}}\right\}$是首项为1，公比为3的等比数列，
∴$\frac{b_n}{a_n}={3^{n-1}}$，
∴${b_n}={a_n}•{3^{n-1}}=（2n+1）•{3^{n-1}}$…（7分）
（2）令${T_n}=3+5•3+7•{3^2}+…+（2n+1）•{3^{n-1}}$，
$3{T_n}=\;3•3+5•{3^2}+7•{3^3}+…+（2n-1）•{3^{n-1}}+（2n+1）•{3^n}$，
两式相减得：$-2{T_n}=3+2•3+2•{3^2}+…+2•{3^{n-1}}-（2n+1）{3^n}$，
$\begin{array}{l}=3+2•\frac{{3（1-{3^{n-1}}）}}{1-3}-（2n+1）{3^n}\\=-2n•{3^n}\end{array}$，
∴${T_n}=n•{3^n}$…（10分）
∴${R_n}=n•{3^n}+3+5+7+…+2n+1=n•{3^n}+\frac{（3+2n+1）n}{2}$，
=n（3ⁿ+n+2）…（12分）
由$\frac{R_n}{n}≤λ•{3^n}+n+3$对n∈N₊恒成立可得$λ≥1-\frac{1}{3^n}$对n∈N₊恒成立，
则λ≥1…（15分）

点评 本题考查求数列的通项公式及等差数列前n项和公式，主要考察采用“错位相减法”求数列的前n项和，分离变量法求未知数的取值范围，考察学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．