题目内容

设 $数学公式$ （a为实常数），y=g（x）与y=e^-x的图象关于y轴对称．
（1）若函数y=f[g（x）]为奇函数，求a的取值．
（2）当a=0时，若关于x的方程 $数学公式$ 有两个不等实根，求m的范围；
（3）当|a|＜1时，求方程f（x）=g（x）的实数根个数，并加以证明．

解：（1）∵y=g（x）与y=e^-x的图象关于y轴对称，∴g（x）=e^x．
∴y=f（g（x））= $\text{[math]}$ 为奇函数，
∴f（g（0））= $\text{[math]}$ ，解得a=-1．
经检验a=-1满足条件．

（2）当a=0时，方程f（g（x））= $\text{[math]}$ 可化为（e^x）²+（1+m）e^x-2m=0．
由题意知：此方程有两个实数根．
令e^x=t，则方程t²+（1+m）t-2m=0有两个不等正实数根．
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
（3）方程f（x）=g（x）可化为e^x+1= $\text{[math]}$ ．
当|a|＜1时，方程 $\text{[math]}$ 由唯一实数根．
证明：分别令h（x）=e^x+1，u（x）= $\text{[math]}$ （x≠-1）．
可知函数h（x）在R上单调递增，且h（0）=2．
∵|a|＜1，∴3+a＞0，
∴ $\text{[math]}$ ＜0，
即函数u（x）分别在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递减．
根据上面的分析画出图象：
由图象可知：只有当x＞-1时，函数u（x）与h（x）只有一个交点．
即方程f（x）=g（x）只有一个实数根．
分析：（1）利用奇函数y（0）=0即可求出；
（2）将问题转化为关于t的一元二次方程有两个不等正实数根即可求出；
（3）将方程的实数根问题转化为利用导数研究函数的交点问题即可．
点评：熟练掌握函数的奇偶性、单调性及“三个二次”的关系是解题的关键．注意导数的应用．