Question

3．已知函数f（x）=2$\sqrt{2}$sinxcos（x+$\frac{π}{4}}$）．
（Ⅰ） 若在△ABC中，BC=2，AB=$\sqrt{2}$，求使f（A-$\frac{π}{4}$）=0的角B．
（Ⅱ）求f（x）在区间[${\frac{π}{2}$，$\frac{17π}{24}}$]上的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由条件求得A的值，利用正弦定理求得B的值．
（II）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间$[{\frac{π}{2}，\frac{17π}{24}}]$上的取值范围．

解答 解：（I）∵$f（A-\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}sin（{A-\frac{π}{4}}）cosA=0$，∴$sin（{A-\frac{π}{4}}）=0或cosA=0$，∴$在三角形中，得A=\frac{π}{4}或\frac{π}{2}$．
∵△ABC中，BC=2，AB=$\sqrt{2}$，∴当A=$\frac{π}{2}$时，△ABC为等腰直角三角形，B=$\frac{π}{4}$；
当A=$\frac{π}{4}$时，由正弦定理可得$\frac{2}{sin\frac{π}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{sinC}$，
求得sinC=$\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{π}{6}$ 或C=$\frac{5π}{6}$（舍去），∴B=π-A-C=$\frac{7π}{12}$．
综上可得，B=$\frac{π}{4}$ 或B=$\frac{7π}{12}$．
（II）$f（x）=2\sqrt{2}sinx（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosx-\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinx}）=2sinxcosx-2{sin^2}x$=$sin2x+cos2x-1=\sqrt{2}（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos2x}）-1=\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）-1$，
∵$\frac{π}{2}≤x≤\frac{17π}{24}$，∴$\frac{5π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{3}$，∴$-\sqrt{2}≤\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）≤-1$，∴-$\sqrt{2}$-1≤sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤-2．
由正弦函数的性质可知，$当2x+\frac{π}{4}=\frac{3π}{2}，即x=\frac{5π}{8}时，f（x）取最小值-\sqrt{2}-1$；$当2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}，即x=\frac{π}{2}时，f（x）取最大值-2$．
所以，f（x）在区间$[{\frac{π}{2}，\frac{17π}{24}}]$上的取值范围是$[{-\sqrt{2}-1，-2}]$．

点评 本题主要考查正弦定理、三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．