Question

14．设函数f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的意义，求函数y=f（x）的最小值；
（2）由题意可得|x-1|+|x-2|小于或等于$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$的最小值，而$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$的最小值等于2，故x的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2的解，根据数轴上的$\frac{1}{2}$、$\frac{5}{2}$对应点到1和2对应点的距离之和等于2，可得不等式的解集．

解答 解：（1）x≥2，f（x）≥1；
1＜x＜2，f（x）=1；
x≤1，f（x）=3-2x≥1，
∴函数y=f（x）的最小值为1；
（2）解：由题知，|x-1|+|x-2|≤$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$恒成立，
故|x-1|+|x-2|小于或等于 $\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$的最小值．
∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|，当且仅当 （a+b）（a-b）≥0 时取等号，
∴$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$的最小值等于2，
∴x的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2的解．
由于|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，
又由于数轴上的$\frac{1}{2}$、$\frac{5}{2}$对应点到1和2对应点的距离之和等于2，
故不等式的解集为[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

点评 本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，判断|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，是解题的关键．