Question

4．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}，\;\;\;\;\;x≥0\\{2^x}，\;\;\;\;\;x＜0\end{array}\right.$，则f（-log₂3）=$\frac{1}{3}$；若$f（f（x））=\frac{1}{2}$，则x=1．

Answer 1

分析 由分段函数定义得f（-log₂3）=${2}^{-lo{g}_{2}3}$，由此能求出结果．由$f（f（x））=\frac{1}{2}$，得当x≥0时，f（x）=-x²，f（f（x））=f（-x²）=${2}^{-{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；当x＜0时，f（x）=2^x，f（f（x））=f（2^x）=-（2^x）²，由此能求出结果．

解答 解：∵函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}，\;\;\;\;\;x≥0\\{2^x}，\;\;\;\;\;x＜0\end{array}\right.$，
∴f（-log₂3）=${2}^{-lo{g}_{2}3}$=$\frac{1}{{2}^{lo{g}_{2}3}}$=$\frac{1}{3}$．
∵$f（f（x））=\frac{1}{2}$，
∴当x≥0时，f（x）=-x²，f（f（x））=f（-x²）=${2}^{-{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，解得x=±1，∴x=1；
当x＜0时，f（x）=2^x，f（f（x））=f（2^x）=-（2^x）²=-2^2x=$\frac{1}{2}$，无解．
综上，x=1．
故答案为：$\frac{1}{3}，1$．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函定义、对数性质及运算法则的合理运用．