Question

5．已知函数f（x）=（x+a）e^x，（CR）．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）≥e^2x在x∈[0，ln3]时恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）问题转化为x+a+1≤0在（-∞，2]上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（Ⅱ）问题转化为a≥（e^x-x）_max，设g（x）=e^x-x，求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=（x+a+1）e^x，x∈R．
因为函数f（x）是区间（-∞，2]上是减函数，
所以f'（x）≤0，即x+a+1≤0在（-∞，2]上恒成立．
因为y=x+a+1是增函数，
所以满足题意只需2+a+1≤0，
即a≤-3．（6分）
（Ⅱ）f（x）≥e^2x，即（x+a）e^x≥e^2x，
a≥e^x-x在x∈[0，ln3]时恒成立，
即a≥（e^x-x）_max，
设g（x）=e^x-x，g′（x）=e^x-1，
易知g′（x）≥0，在x∈[0，ln3]上恒成立，
所以g（x）_max=g（ln3）=3-ln3，
所以a≥3-ln3．（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．