Question

2．已知F₂为椭圆C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1的右焦点，椭圆C上任意一点P到点F₂的距离与点P到直线l：x=m的距离之比为$\frac{1}{2}$．
（1）求直线l方程；
（2）设AB是过左焦点F₁的一条动弦，求△ABF₂的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出焦点F，设P（x，y）为椭圆C上任意一点，利用已知条件列出方程，求出m，即可．
（2）设AB方程为x=ty-1，与椭圆联立，求出三角形的面积的表达式，利用换元法以及函数的单调性求解最值．

解答 解：（1）F（1，0），设P（x，y）为椭圆C上任意一点，
依题意有$\frac{{\sqrt{{{（{x-1}）}^2}+{y^2}}}}{{|{x-m}|}}=\frac{1}{2}$，
∴4（x-1）²+4y²=（x-m）²．将4y²=12-3x²代入，
并整理得（8-2m）x+m²-16=0．
由点P（x，y）为椭圆上任意一点知，方程（8-2m）x+m²-16=0对-2≤x≤2的x均成立．
∴8-2m=0，且m²-16=0，解得m=4．
∴直线l的方程为x=4．
（2）由题意可设AB方程为x=ty-1，
由$\left\{\begin{array}{l}x=ty-1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得（3t²+4）y²-6ty-9=0，∴y₁+y₂=$\frac{6t}{3{t}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{t}^{2}+4}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{{y}_{1}+{y}_{2}）}^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{36{t}^{2}}{（3{t}^{2}+4）^{2}}+\frac{36}{3{t}^{2}+4}}$=$\frac{12\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$．
∴△ABF₂面积S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|=$\frac{12\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$，
令$s=\sqrt{{t^2}+1}≥1$，
则${S}_{△AB{F}_{2}}=\frac{12s}{3{s}^{2}+1}=\frac{12}{3s+\frac{1}{s}}$．当s≥1时，函数g（s）=3s+$\frac{1}{s}$是增函数，可得${S}_{△AB{F}_{2}}≤3$．

点评 本题考查了焦点弦与三角形的周长与面积最值问题，注意运用椭圆的定义和转化为方程联立可得根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．