对于四面体ABCD.给出下列四个命题: ①若AB＝AC.BD＝CD.则BC⊥AD, ②若AB＝CD.AC＝BD.则BC⊥AD, ③若AB⊥AC.BD⊥CD.则BC⊥AD, ④若AB⊥CD.AC⊥BD.则BC⊥AD. 其中真命题的序号是．(把你认为正确命题的序号都填上) 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

对于四面体ABCD，给出下列四个命题：

①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；

②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；

③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；

④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.

其中真命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)

①④

[解析]　本题考查四面体的性质，取BC的中点E，

则BC⊥AE，BC⊥DE，

∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AD，故①正确．

设O为A在面BCD上的射影，依题意OB⊥CD，OC⊥BD，

∴O为垂心，∴OD⊥BC，∴BC⊥AD，故④正确，

②③易排除，故答案为①④.

练习册系列答案

相关题目

如图所示，E、F分别是正方体的面ADD₁A₁、面BCC₁B₁的中心，则四边形BFD₁E在该正方体的面上的正投影可能是________．(要求：把可能的图的序号都填上)

如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为(　　)

A．AC⊥BD

B．AC∥截面PQMN

C．AC＝BD

D．异面直线PM与BD所成的角为45°

已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则(　　)

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l

已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：

①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；

②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；

③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；

④若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n.

其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．

正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为(　　)

A．1:1 B．1:2

C．2:1 D．3:2

如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝AD＝3cm，AA₁＝2cm，则四棱锥A－BB₁D₁D的体积为________cm³.

已知点P在z轴上，且满足|OP|＝1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离为________．

如图，在五棱锥P－ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC.∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．

(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；

(3)求四棱锥P－ACDE的体积．

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