Question

已知函数，，其中．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若存在，使得成立，求实数M的最大值；

（3）若对任意的，都有，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）。

【解析】

试题分析：（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后利用点斜式求出切线的方程；（2）由题意知要使不等式成立，需要比左边的最小值即可，要求的最小值，只需求在上的最小值与最大值然后作差。（3）由题意知，应求的最大值，的最小值，在求的最小值时，令得，或，根据与区间的关系分情况讨论。

试题解析：（1）当时， ，，

，，

所以所求切线方程为，即． 2分

（2），．令，得，．

当x变化时，与的变化情况如下：

x	0				2
		－	0	＋
			极小值		1

所以，．

因为存在，使得成立，

所以．所以实数M的最大值为． 8分

（3）由（2）知，在上，，所以．

．

（ⅰ）当或时，在上，，是单调增函数．

所以，解得或．所以或．

（ⅱ）当时，在上，，是单调减函数；

在上，，是单调增函数．所以，不成立．

（ⅲ）当时，在上，，是单调增函数；

在上，，是单调减函数．

所以且 ，又，可得．

（ⅳ）当时，在上，，是单调减函数．

，不成立．

综上，实数的取值范围是． 16分

考点：（1）导数的几何意义；（2）利用导函数求函数的最值；（3）分类讨论思想的应用。