Question

△ABC中角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a=2

3

，c=2，

tanA

tanB

+1=

2c

b

．
求：（1）角A； 
（2）△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（1）将已知的等式左边通分并利用同角三角函数间的基本关系弦化切，分子通分并利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，右边利用正弦定理化简，整理后求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）由a，c及sinA的值，利用正弦定理求出sinC的值，再由a大于c，得到A大于C，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，进而确定出B的度数，由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵

tanA

tanB

+1=

2c

b

，
∴

tanA+tanB

tanB

=

sinA cosA + sinB cosB

sinB cosB

=

sin(A+B) cosAcosB

sinB cosB

=

2sinC

sinB

，
整理得：cosA=

1

2

，又A为三角形的内角，
∴A=60°；
（2）∵a=2

3

，c=2，sinA=

3

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：sinC=

csinA

a

=

1

2

，
又c＜a，即C＜A=60°，
∴C=30°，B=90°，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=2

3

．

点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．