Question

11．已知函数f（x）=x²+kx+3-k．
（1）当x∈R且k=3时，求函数的最值及单调区间；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）为增函数，求k的取值范围；
（3）当x∈[-2，2]时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）当k=3时，f（x）=x²+3x的图象是开口朝上，且以直线x=-$\frac{3}{2}$为对称轴的抛物线，进而得到函数的最值和单调区间；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）为增函数，则-$\frac{k}{2}$≤1，解得k的取值范围；
（3）分类讨论给定区间与对称轴的关系，进而分析函数的单调性，可得不同情况下函数的最小值．

解答 解：（1）当k=3时，f（x）=x²+3x的图象是开口朝上，且以直线x=-$\frac{3}{2}$为对称轴的抛物线，
故当x=-$\frac{3}{2}$时，函数取最小值为$-\frac{9}{4}$，…（2分）
函数f（x）=x²+3x的单调递增区间：$（-\frac{3}{2}，+∞）$，…（4分）
函数f（x）=x²+3x的单调递减区间：$（-∞，-\frac{3}{2}）$…（6分）
（2）函数f（x）=x²+kx+3-k的图象是开口朝上，且以直线x=-$\frac{k}{2}$为对称轴的抛物线，
若函数f（x）在[1，+∞）为增函数，
则-$\frac{k}{2}$≤1，
解得：k≥-2…（10分）
（3）函数f（x）=x²+kx+3-k的图象是开口朝上，且以直线x=-$\frac{k}{2}$为对称轴的抛物线，
当-$\frac{k}{2}$＞2，即k＜-4时，函数f（x）=x²+kx+3-k在[-2，2]上为减函数，当x=2时，函数f（x）的最小值为7+k；
当-2≤-$\frac{k}{2}$≤2，即-4≤k≤4时，函数f（x）=x²+kx+3-k在[-2，-$\frac{k}{2}$]上为减函数，在[-$\frac{k}{2}$，2]上为增函数，当x=-$\frac{k}{2}$时，函数f（x）的最小值为$-\frac{{k}^{2}}{4}-k+3$
当-$\frac{k}{2}$＜-2，即k＞4时，函数f（x）=x²+kx+3-k在[-2，2]上为增函数，当x=-2时，函数f（x）的最小值为7-3k；
综上所述函数f（x）的最小值为$\left\{\begin{array}{l}7+k，k＜-4\\-\frac{{k}^{2}}{4}-k+3，-4≤k≤4\\ 7-3k，k＞4\end{array}\right.$．…（14分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．