Question

15．已知函数$f（x）=\frac{{{x^4}+k{x^2}+1}}{{{x^4}+{x^2}+1}}\;（k∈R）$，若对任意三个实数a、b、c，均存在一个以f（a）、f（b）、f（c）为三边之长的三角形，则k的取值范围是（　　）

• A． -2＜k＜4
• B． $-\frac{1}{2}＜k＜4$
• C． -2＜k≤1
• D． $-\frac{1}{2}＜k≤1$

Answer 1

分析 化简f（x）=1+$\frac{（k-1）{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$，从而讨论以确定f（x）的取值范围，从而解得．

解答 解：f（x）=$\frac{{x}^{4}+k{x}^{2}+1}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$=1+$\frac{（k-1）{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$，
当k=1时，f（x）=1，成立；
当k＜1时，
$\frac{（k-1）{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$=$\frac{k-1}{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}+1}$，
∵x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥2（当且仅当x=±1时，等号成立）；
故1+$\frac{k-1}{3}$≤f（x）≤1，
故只需使2（1+$\frac{k-1}{3}$）＞1，
解得，k＞-$\frac{1}{2}$；
当k＞1时，
$\frac{（k-1）{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$=$\frac{k-1}{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}+1}$，
∵x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥2（当且仅当x=±1时，等号成立）；
故1≤f（x）≤1+$\frac{k-1}{3}$，
故只需使2＞$\frac{k-1}{3}$+1，
解得，k＜4；
综上所述，-$\frac{1}{2}$＜k＜4，
故选B．

点评 本题考查了函数的化简及分类讨论的思想应用，同时考查了基本不等式的应用．