Question

7．在平面直角坐标系xOy中，设命题p：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{8-m}$=1的焦点在x轴上；命题q：直线l：x-y+m=0与圆O：x²+y²=9有公共点． 若命题p、命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 求出命题p，q为真时，m的范围，结合命题p、命题q中有且只有一个为真命题，分类讨论，综合后可得实数m的取值范围．

解答 解：命题p为真：由题意得，m＞8-m＞0，解得4＜m＜8．…3分
命题q为真：x-y+m=0与圆O：x²+y²=9有公共点
则圆心O到直线l的距离：d=$\frac{\left|m\right|}{\sqrt{2}}$≤3，
   解得：-3$\sqrt{2}$≤m≤3$\sqrt{2}$．…7分
因为命题p、命题q中有且只有一个为真命题
若p真q假，则：$\left\{\begin{array}{l}4＜m＜8\\ m＜-3\sqrt{2}，或m＞3\sqrt{2}\end{array}\right.$      解得：3$\sqrt{2}$＜m＜8．…10分
若p假q真，则：$\left\{\begin{array}{l}m≤4，或m≥8\\-3\sqrt{2}≤m≤3\sqrt{2}\end{array}\right.$      解得：-3$\sqrt{2}$≤m≤4    …13分
综上：实数m的取值范围是3$\sqrt{2}$＜m＜8或-3$\sqrt{2}$≤m≤4．          …14分．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了椭圆的方程，直线与圆的位置关系，复合命题，难度中档．