题目内容
8．（1）在数列{an}中，a1=2，an+1=an+$\frac{1}{n（n+1）}$，求数列{an}的通项公式．（2）若数列{an}满足：a1=1，an+1=an+2n，求数列{an}的通项公式．
分析 （1）由“裂项”求得an+1-an=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，采用累加法，即可求得an=$\frac{2n-1}{n}$，验证当n=1时，即可求得数列{an}的通项公式．
（2）由an+1-an=2n，采用累加法，根据等比数列前n项和公式即可求得数列{an}的通项公式．
解答 解：（1）由题意可知：
当an+1-an=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
a2-a1=1-$\frac{1}{2}$，
a3-a2=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，
a4-a3=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
…
an-an-1=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴an-a1=1-$\frac{1}{n}$，
∴an=2-$\frac{1}{n}$，
=$\frac{2n-1}{n}$，
当n=1时成立，
∴an=$\frac{2n-1}{n}$，
（2）由an+1-an=2n，
a2-a1=2，
a3-a2=4，
a4-a3=8，
…
an-an-1=2n-1，
累加得：an-a1=2+4+8+…+2n-1=$\frac{2-{2}^{n}}{1-2}$，
an=2n-1，
当n=1时成立，
∴an=2n-1，
点评 本题考查求数列的通项公式，利用“裂项法”，“累加法”求得数列的通项公式，考查等比数列前n项和公式，属于中档题．
练习册系列答案
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