Question

13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的值；
（2）若b=$\sqrt{3}$，求a-$\frac{1}{2}$c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，由内角和定理和特殊角度三角函数值求出B；
（2）由条件和正弦定理表示出a、c，代入a-$\frac{1}{2}$c利用两角差的正弦公式化简，由正弦函数的性质求出式子的取值范围．

解答 解析：（1）在△ABC中，由已知得（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC-----（3分）
化简得2sinAcosB=sin（B+C）
∵B+C=π-A，∴sin（B+C）=sinA，则2sinAcosB=sinA，
由0＜A＜π得sinA≠0，则cosB=$\frac{1}{2}$----------（5分）
由0＜B＜π得，B=$\frac{π}{3}$；-----------（6分）
（2）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
得a=2sinA，c=2sinC，
由（1）得，C=π-B-A=$\frac{2π}{3}-A$，则$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴a-$\frac{1}{2}c$=2sinA-sinC=2sinA-sin（$\frac{2π}{3}-A$）
=$\frac{3}{2}sinA-\frac{\sqrt{3}}{2}cosA$=$\sqrt{3}sin$（$A-\frac{π}{6}$）---------（9分）
由$0＜A＜\frac{2π}{3}$得，$-\frac{π}{6}＜A-\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$------（10分）
∴$sin（A-\frac{π}{6}）∈（-\frac{1}{2}，1）$，
∴a-$\frac{1}{2}c$=$\sqrt{3}sin$（$A-\frac{π}{6}$）∈$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}）$------（12分）

点评 本题考查正弦定理，两角和与差的正弦公式的应用，以及正弦函数的性质，注意内角的范围，考查化简、变形能力，属于中档题．