Question

2．已知双曲线C：mx²+ny²=1，（m＞0，n＜0）的一条渐近线与圆x²+y²-6x-2y+9=0相切，则双曲线C的离心率等于（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 求出圆的标准方程，求得圆心与半径，利用双曲线的渐近线和圆相切的等价条件建立方程得到a，b的关系即可得到结论．

解答 解：圆x²+y²-6x-2y+9=0的标准方程为（x-3）²+（y-1）²=1，
则圆心为M（3，1），半径R=1，
由mx²+ny²=0，（m＞0，n＜0），
则双曲线的焦点在x轴，则对应的渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x，
设双曲线的一条渐近线为y=$\frac{b}{a}$x，即ay-bx=0，
∵一条渐近线与圆x²+y²-6x-2y+9=0相切，
∴即圆心到直线的距离d=$\frac{丨a-3b丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，
即|a-3b|=c，
平方得a²-6ab+9b²=c²=a²+b²，
即8b²-6ab=0，
则4b-3a=0，
则b=$\frac{3}{4}$a，平方得b²=$\frac{9}{16}$a²=c²-a²，
即c²=$\frac{25}{16}$a²，
则c=$\frac{5}{4}$a，
∴离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$，
故选：C．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，圆的标准方程，考查直线和圆相切的等价条件，考查学生的计算能力，属于中档题．