Question

5．（普通中学做）已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点P（0，2），离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试问是否存在直线l：y=kx-$\frac{4}{3}$与椭圆C相交于不同的两点M，N，且|PM|=|PN|？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）椭圆的焦点在x轴上，经过P（0，2），即b=2，由离心率公式e=$\frac{c}{a}$，及a²=b²+c²，即可a和c的值，即可求得椭圆方程；
（2）假设存在直线，将直线方程代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，设出M和N点坐标及MN的中点坐标，由韦达定理可知，即可求得A点坐标，判断当k=0时，成立，当k≠0．，求得直线AP的斜率，由MN⊥AP，得-$\frac{9{k}^{2}+5}{6k}$•k=-1，即可求得k的值．

解答 解：（1）∵椭圆C经过点P（0，2），
∴b=2，
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．即a²=$\frac{3}{2}$c²=$\frac{3}{2}$（a²-b²），整理得a²=3b²=12，
∴$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）假设存在直线l满足条件，则：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\frac{4}{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：（1+3k²）x²-8kx-$\frac{20}{3}$=0，△＞0恒成立，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设A（x₀，y₀）为线段MN的中点，则，
x₁+x₂=$\frac{8k}{1+3{k}^{2}}$，x₀=$\frac{4k}{1+3{k}^{2}}$，y₀=kx₀-$\frac{4}{3}$=-$\frac{4}{3（1+3{k}^{2}）}$，即A（$\frac{4k}{1+3{k}^{2}}$，-$\frac{4}{3（1+3{k}^{2}）}$），
当k=0时，满足题意，
当k≠0时，直线AP的斜率k_AP=$\frac{-\frac{4}{3（1+3{k}^{2}）}-2}{\frac{4k}{1+3{k}^{2}}}$=-$\frac{9{k}^{2}+5}{6k}$，
由MN⊥AP，得-$\frac{9{k}^{2}+5}{6k}$•k=-1，解得：k=±$\frac{1}{3}$，
故直线的斜率为：k=0，$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式、韦达定理及斜率公式的应用，属于中档题．