题目内容

已知曲线C的参数方程为
x=
2
cosA
y=sinA
（A为参数）．
（1）设M（x，y）是曲线C上的任一点，求
2
x+2y最大值．
（2）过点N（2，0）的直线l与曲线C交于P，Q两点，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），求直线l的方程．
考点：椭圆的参数方程,直线与圆锥曲线的关系
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）利用参数方程设出M的坐标，再利用三角函数求出
2
x+2y最大值；
（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到交点的坐标满足的关系，利用向量垂直的充要条件列出等式，求出直线的斜率，即得到直线的方程．
解答： 解：（1）∵M点在曲线上，∴M（
2
cosA，sinA）
∴
2
x+y=2cosA+2sinA=2
2
sin（A+
π
4
），
∴
2
x+2y的最大值为2
2
；
（2）设直线的方程为y=k（x-2），且与曲线交点P（x1，y1），Q（x2，y2），
由已知得曲线C的方程是椭圆x2+2y2=2，
把直线方程与椭圆方程联立得（2k2+1）x2-8k2x+8k2-2=0
有x1+x2=
8k2
2k2+1
，x1x2=
8k2-2
1+2k2

∴y1y2=
2k2
1+2k2

∵OP⊥OQ，
∴y1y2+x1x2=0即
8k2-2
1+2k2
+
2k2
1+2k2
=0
解得：k=±
5
5

∴所求直线PQ的方程为y=±
5
5
（x-2）．
点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题，一般将直线的方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理找突破口．
练习册系列答案
相关题目
若函数f（x）和g（x）分别由下表给出，则f（f（1））=
 
，g（f（3））=
 
．
x  1 2 3 4
f（x）  2  3  4  1 
 x1  2 3 4
g（x）  2 1 4 3
已知f（x-1）是偶函数（x∈R且x≠0）且在（0，+∞）上单调递增，f（-2）=0，则关于x的不等式：（x+1）f（x）＞0的解集是（　　）
A、（-∞，-2）∪（-1，+∞）
B、（-2，-1）∪（0，+∞）
C、（-2，0）
D、（-1，+∞）
函数f（x）=（
1
4
）x+（
1
2
）x-1，x∈[0，+∞）的值域为（　　）
A、（-
5
4
，1]
B、[-
5
4
，1]
C、（-1，1]
D、[-1，1]
已知数列{an}中，a1=
3
5
，an=2-
1
an-1
，（n≥2），求an的值．
已知函数f（x）=x3-x2（[x]+
3
2
）+x，x∈[0，2），（其中[x]表示不大于x的最大整数，如[0.1]=0，[-0.2]=-1），g（x）=kx（k≠0），若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　）
A、（-
9
16
，-
1
2
]∪（
7
16
，
1
2
]
B、（-
1
2
，0）∪[
1
2
，1]
C、（-
1
2
，0）∪[
1
2
，1]∪{-
9
16
，
7
16
}
D、（-
1
2
，0）∪[
1
2
，1）∪{-
9
16
，
7
16
}
已知函数f（x）=αx+
b
x
（其中α，b为常数）的图象经过﹙1，2﹚，﹙2，
5
2
）两点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并判断f（x）的奇偶性．
（Ⅱ）用定义证明f（x）在区间﹙0，1]上单调递减．
下列函数中，其图象关于x=
5
6
π对称的是（　　）
A、y=sin（x-
π
3
）
B、y=sin（x-
5
6
π）
C、y=sin（x+
π
6
）
D、y=sin（x+
π
3
）
已知直线l过点（-1，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（　　）
A、（-
2
，
3
）
B、（-
2
，
2
）
C、（-1，1）
D、（-
3
3
，
3
3
）

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