Question

9．设z=$\frac{（1-4i）（1+i）+2+4i}{3+4i}$．
①求|z|；
②若$\frac{{|{\overline z}|+mi}}{1-i}=\sqrt{2}$i，m∈R，求实数m的值．

Answer 1

分析 ①根据复数的四则运算进行化简，结合复数的模长公式进行计算即可．
②根据复数相等的条件建立方程即可求出m的值．

解答 解：①z=$\frac{（1-4i）（1+i）+2+4i}{3+4i}$=$\frac{5-3i+2+4i}{3+4i}$=$\frac{7+i}{3+4i}$=$\frac{（7+i）（3-4i）}{（3+4i）（3-4i）}$=$\frac{25-25i}{9+16}$=1-i，
则|z|=$\sqrt{2}$；
②若$\frac{{|{\overline z}|+mi}}{1-i}=\sqrt{2}$i，m∈R，
则|$\overline{z}$|+mi=$\sqrt{2}$i（1-i）=$\sqrt{2}$i+$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{2}$+mi=$\sqrt{2}$i+$\sqrt{2}$，
即m=$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查复数的化简和模长的计算，根据复数的运算法则将复数进行化简是解决本题的关键．