Question

16．已知函数f（x）=x²+13x+36．
（Ⅰ）求h（x）=$\frac{1}{{\sqrt{f（x）}}}$的定义域；
（Ⅱ）对任意x＞0，$\frac{f（x）}{x}$＞m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得x²+13x+36＞0，运用二次不等式的解法，即可得到所求定义域；
（Ⅱ）对任意x＞0，$\frac{f（x）}{x}$＞m恒成立，即为m＜$\frac{{x}^{2}+13x+36}{x}$的最小值，运用基本不等式可得右边函数的最小值，进而得到m的范围．

解答 解：（Ⅰ）h（x）=$\frac{1}{{\sqrt{f（x）}}}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+13x+36}}$，
由x²+13x+36＞0，即（x+4）（x+9）＞0，
解得x＞-4或x＜-9，
即定义域为（-∞，-9）∪（-4，+∞）；
（Ⅱ）对任意x＞0，$\frac{f（x）}{x}$＞m恒成立，
即为m＜$\frac{{x}^{2}+13x+36}{x}$的最小值，
由g（x）=$\frac{{x}^{2}+13x+36}{x}$（x＞0），
即g（x）=x+$\frac{36}{x}$+13≥2$\sqrt{x•\frac{36}{x}}$+13=25，
当且仅当x=6时，取得最小值25．
则m＜25．
即有m的取值范围是（-∞，25）．

点评 本题考查函数的定义域的求法，注意运用分式分母不为0，偶次根式被开方数非负，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．