Question

如图，ABCD为直角梯形，AB⊥AD，四边形ABB₁A₁是平行四边形，侧面ADA₁⊥底面ABCD，AA₁=

2

，∠A₁AD=135°，AD=2，AB=BC=1．
（1）在线段AD上找一点O，使A₁O∥平面AB₁C，并说明理由；
（2）求平面ACB₁与平面ACB所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）在AD上取AO=BC，由已知条件推导出四边形A₁B₁CO是平行四边形，从而A₁O∥B₁C，由此能证明A₁O∥平面AB₁C．
（2）以AB为x轴，AD为y轴，过A作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，分另求出平面AB₁C的法向量和平面ABC的法向量，由此能求出平面ACB₁与平面ACB所成的锐二面角的余弦值．

解答： 解：（1）在AD上取AO=BC，∵ABCD为直角梯形，AB⊥AD，
∴AB

∥

.

AO，∴CO

∥

.

AB，∵四边形ABB₁A₁是平行四边形，
∴CO

∥

.

A₁B₁，∴四边形A₁B₁CO是平行四边形，
∴A₁O∥B₁C，
又A₁O?平面AB₁C，B₁C?平面AB₁C，∴A₁O∥平面AB₁C．
（2）以AB为x轴，AD为y轴，过A作垂直于平面ABCD的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得A（0，0，0），C（1，1，0），B₁（1，-

2

2

，

2

2

），B（1，0，0），

AC

=（1，1，0），

AB1

=（1，-

2

2

，

2

2

），
设平面AB₁C的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AB1 =x- 2 2 y+ 2 2 z=0 n • AC =x+y=0

，
取x=1，得

n

=（1，-1，-

2

-1），又平面ABC的法向量

m

=（0，0，1），
设平面ACB₁与平面ACB所成的锐二面角为θ，
则cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

n • m

| n |•| m |

|=|

- 2 -1

5+2 2

|=

2 +1

5+2 2

．
∴平面ACB₁与平面ACB所成的锐二面角的余弦值为

2 +1

5+2 2

．

点评：本题考查使直线与平面平行的点的位置的判断，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．