Question

11．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y（分钟）与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：
y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{8}{t}^{3}-\frac{3}{4}{t}^{2}+36t-\frac{629}{4}，6≤t≤9}\\{\frac{1}{8}t+\frac{59}{4}，9≤t≤10}\\{-3{t}^{2}+66t-345，10＜t≤12}\end{array}\right.$
求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻．

Answer 1

分析 通过分段函数①当6≤t＜9时，利用函数的导数求出最大值；②当9≤t≤10时，通过函数的单调性求解最大值，③当10＜t≤12时，利用二次函数求解函数的最值，推出结果．

解答 解：①当6≤t＜9时，
y′=-$\frac{3}{8}$t²-$\frac{3}{2}$t+36=-$\frac{3}{8}$（t+12）（t-8）…（2分）
令y′=0，得t=-12（舍去）或t=8．
当6≤t＜8时，y′＞0，当8＜t＜9时，y′＜0，
故t=8时，y有最大值，y_max=18.75…（5分）
②当9≤t≤10时，y=$\frac{1}{8}$t+$\frac{59}{4}$是增函数，
故t=10时，y_max=16…（8分）
③当10＜t≤12时，y=-3（t-11）²+18，
故t=11时，y_max=18…（11分）
综上可知，通过该路段用时最多的时刻为上午8点…（12分）

点评 本题考查分段函数的应用，函数的导数求解函数的最值，二次函数的最值，函数的单调性求解最值的方法，考查分析问题解决问题的能力以及分类讨论思想，转化思想的应用．