Question

6．给出下列命题：
①函数f（x）=cosx，g（x）=|cosx|都是周期函数，且最小正周期都为2π；
②函数y=sin|x|在区间（-$\frac{π}{2}$，0）上递增；
③函数y=cos（$\frac{3x}{4}$+$\frac{π}{2}$）是奇函数；
④函数y=tan（2x-$\frac{π}{6}$）的定义域是{x|x∈R且x≠$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z}；
⑤函数f（x）是偶函数，且图象关于直线x=2对称，则4为f（x）的一个周期．
其中正确的命题是③④⑤（把正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析 ①求出函数f（x）、g（x）的最小正周期即可判断①错；
②根据函数y是偶函数，在区间（-$\frac{π}{2}$，0）上单调递减判断②错；
③化简函数y，判断它是定义域R上的奇函数，判断③正确；
④求出函数y的定义域，即可判断④正确；
⑤根据定义判断4为f（x）的一个周期，⑤正确．

解答 解：对于①，函数f（x）=cosx的最小正周期是2π，g（x）=|cosx|的最小正周期是π，故①错误；
对于②，函数y=sin|x|是偶函数，在区间（-$\frac{π}{2}$，0）上单调递减，故②错误；
对于③，函数y=cos（$\frac{3x}{4}$+$\frac{π}{2}$）=-sin$\frac{3}{4}$x，是定义域R上的奇函数，故③正确；
对于④，令2x-$\frac{π}{6}$≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得x≠$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
所以函数y=tan（2x-$\frac{π}{6}$）的定义域是{x|x∈R且x≠$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z}，故④正确；
对于⑤，函数f（x）是偶函数，且图象关于直线x=2对称，
所以f（2+x）=f（2-x）=f（x-2），
即f（x+4）=f（x），所以4为f（x）的一个周期，⑤正确．
综上，正确的命题是③④⑤．
故答案为：③④⑤．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数奇偶性与对称性的应用问题，是综合性题目．