Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°．
（1）若（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），求k的值；
（2）若|k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|＜2，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，从而得到2k-5=0，由此能求出k．
（2）|k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}-2k+4}$＜2，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
∴（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，…（2分）
∴$k{\overrightarrow{a}}^{2}$+（k-1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=60°，
∴2k-5=0，∴k=$\frac{5}{2}$．…（5分）
（2）|k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}$
=$\sqrt{{k}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}-2k\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}-2k+4}$＜2，
∴k²-2k＜0，∴0＜k＜2．…（10分）

点评 本题考查实数值及实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．