Question

15．已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数m、n，均有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，且f（$\frac{1}{2}$）=2，当x＞-$\frac{1}{2}$时有f（x）＞0
（1）求f（-$\frac{1}{2}$）的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；
（3）解关于x的不等式：1+f（x²+1）≤f（1）+f（2|x|）

Answer 1

分析 （1）利用已知条件通过赋值法求解即可．
（2）利用函数的单调性的定义判断证明即可．
（3）利用已知条件化简表达式为已知条件的形式，通过函数的单调性的性质化简求解即可．

解答 解：（1）令m=n=0得f（0）=1，令$m=\frac{1}{2}，n=-\frac{1}{2}$，则$f（0）=f（-\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{2}）-1$，
得$f（-\frac{1}{2}）=0$，
（2）设x₂＞x₁，则$f（{x_2}）-f（{x_1}）=f（{x_2}-{x_1}）-1=f[（{x_2}-{x_1}-\frac{1}{2}）+\frac{1}{2}]-1$=$[f（{x_2}-{x_1}-\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{2}）-1]-1=f（{x_2}-{x_1}-\frac{1}{2}）$，
因为x₂＞x₁，所以${x_2}-{x_1}-\frac{1}{2}＞0$，由已知当$x＞-\frac{1}{2}$时有f（x）＞0，
所以$f（{x_2}-{x_1}-\frac{1}{2}）＞0$，
所以f（x₂）＞f（x₁）所以f（x）在R上单调递增．
（3）原不等式等价于f（x²+1）≤f（1）+f（2|x|）-1=f（1+2|x|），
由（2）知f（x）在R上单调递增．
所以x²+1≤1+2|x|?|x|²+1≤1+2|x|，
解得0≤|x|≤2即-2≤x≤2，
所以原不等式解集为{x|-2≤x≤2}．

点评 本题考查抽象函数的应用，函数在求法，单调性的判断与证明，考查计算能力．