Question

7．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=3，S₄=16．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=（$\sqrt{2}$）${\;}^{1+{a}_{n}}$a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂=3，S₄=16．可得a₁+d=3，4a₁+$\frac{4×3}{2}$d=16，解出即可得出．
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n=（$\sqrt{2}$）${\;}^{1+{a}_{n}}$a_n=（2n-1）•2ⁿ．利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂=3，S₄=16．
∴a₁+d=3，4a₁+$\frac{4×3}{2}$d=16，
解得：a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n=（$\sqrt{2}$）${\;}^{1+{a}_{n}}$a_n=（2n-1）•2ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=$2+\frac{2×4×（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、数列递推关系、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．