Question

2．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈（-∞，0）∪（0，+∞）的导函数，f（-1）=0，当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（0，1）
• B． （-1，0）∪（1，+∞）
• C． （-1，0）∪（0，1）
• D． （0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由已知当x＞0时总有xf′（x）-f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）在（-∞，0）上为减函数，不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，分类讨论即可得到答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
则g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵xf′（x）-f（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上为减函数，
又∵g（-x）=-g（x），
∴函数g（x）为定义域上的奇函数，g（x）在（-∞，0）上为减函数．
又∵g（-1）=0，
∴g（1）=0，
∴不等式f（x）＞0?x•g（x）＞0，
∴x＞0，g（x）＞0或x＜0，g（x）＜0，
∴0＜x＜1或-1＜x＜0，
∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（-1，0）∪（0，1），
故选：C．

点评 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，由题意构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$是解答该题的关键，属中档题．