Question

17．以双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）上一点M为圆心的圆与x轴恰相切于双曲线的一个焦点F，且与y轴交于P、Q两点．若△MPQ为正三角形，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． 4
• B． $\sqrt{7}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意可设F（c，0），MF⊥x轴，可设M（c，n），n＞0，设x=c，代入双曲线的方程，可得M的坐标，圆的半径，运用弦长公式，可得|PQ|=2$\sqrt{\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}-{c}^{2}}$，再由等边三角形的性质，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可设F（c，0），
MF⊥x轴，可设M（c，n），n＞0，
设x=c，代入双曲线的方程可得y=b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即有M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
可得圆的圆心为M，半径为$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即有M到y轴的距离为c，
可得|PQ|=2$\sqrt{\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}-{c}^{2}}$，
由△MPQ为等边三角形，可得
c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2$\sqrt{\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}-{c}^{2}}$，
化简可得3b⁴=4a²c²，
由c²=a²+b²，可得3c⁴-10c²a²+3a⁴=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得3e⁴-10e²+3=0，
解得e²=3（$\frac{1}{3}$舍去），
即有e=$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相交的弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．