Question

设a为常数，关于x的不等式

1

1+ x

≥a

x x-1

有非零实数解，则a的最大值是（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  3 2 - 6

  4

• C．

  ( 5 - 3 ) 2 6 +2

  4

• D．

  ( 5 -2) 2 5 +2

  2

Answer 1

分析：由已知的不等式分离出a，整理后设不等式右边的式子为y，利用求导法则求出y′，令导函数为0，求出函数的极值点，根据二次根式中被开方数大于0，得到x的范围，根据极值点分区间判断导函数的正负，进而得到函数的增减性，根据增减性得到函数取得最小值时x的值，把此时的极值点x的值代入函数y解析式中，化简后即可求出y的最小值，即为满足题意a的最大值．

解答：解：当x≠0时，不等式

1

1+ x

≥a

x x-1

，变形得：a≤

1

1+ x

•

x-1 x

=

x-1

x +x

，
设y=

x-1

x +x

，
令y′=

1 2 x-1 ×( x +x)- x-1 ×( 1 2 x +1)

( x +x)2

=0，
即

x +x

2 x-1

-

x-1 (1+2  x )

2 x

=0，
整理得：x

x

-2

x

-1=0，
设

x

=t（t＞0），则有x=t²，
方程化为：t³-2t-1=0，
即（t³+t²）-（t²+t）-（t+1）=0，
即t²（t+1）-t（t+1）-（t+1）=0，
由t+1≠0，两边同时除以t+1得：t²-t-1=0，
解得：t=

1+ 5

2

或t=

1- 5

2

（舍去），
∴x=t²=

3+ 5

2

，
根据不等式的左边得到x≥0，
根据右边得到

x≥0 x-1＞0

或

x≤0 x-1＜0

，解得：x＞1或x≤0，
∴x＞1，
∴当1＜x≤

3+ 5

2

时，y′＜0，y为减函数；当x＞

3+ 5

2

时，y′＞0，y为增函数，
∴当x=

3+ 5

2

时，y有最小值，
y_min=

3+ 5 2 -1

3+ 5 2 + 3+ 5 2

=

2 5 +1

6+2 5 +3+ 5

=

2 5 +1

(1+ 5 )2 +3+ 5

=

2 5 +1

4+2 5

=

( 5 -2) 2 5 +2

2

，
则a的最大值为

( 5 -2) 2 5 +2

2

．
故选D

点评：此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：利用导数研究函数的极值，不等式恒成立时满足的条件，利用了转化的思想，是一道综合性较强的题．