Question

15．已知函数$f（x）=x+\frac{a}{x}$，且f（1）=2．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）探求f（x）在区间[1，+∞）的单调性，并证明．

Answer 1

分析 （1）利用$f（x）=x+\frac{a}{x}$，且f（1）=2，建立方程，求a的值；
（2）利用奇函数的定义判断函数f（x）的奇偶性；
（3）利用单调性的定义，判断与证明即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$x+\frac{a}{x}$，且f（1）=2，∴1+a=2，即a=1．
（2）由（1）可知，f（x）=$x+\frac{1}{x}$．
∵函数f（x）的定义域（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，
f（-x）=（-x）+$\frac{1}{-x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x）．
∴函数f（x）是奇函数．
（3）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=$（{x_1}-{x_2}）•\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{（{x_1}-{x_2}）•（{x_1}{x_2}-1）}}{{{x_1}{x_2}}}$．
当x₂＞x₁≥1时，x₁x₂＞1，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．