Question

18．设函数f（x）=x³+sinx，（x∈R）．若当0＜θ＜$\frac{π}{2}$时，不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． （-∞，1]
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （$\frac{1}{2}$，1]

Answer 1

分析 由函数f（x）=x³+sinx，利用函数f（x）的奇偶性与单调性．不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，转化为：msinθ＞m-1，再利用0＜θ＜$\frac{π}{2}$，0＜sinθ＜1，即可得出实数m的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=x³+sinx，则f（-x）=-f（x），则函数f（x）是奇函数．
当0＜θ＜$\frac{π}{2}$时，f′（x）=3x²+cosx＞0，函数f（x）单调递增．
不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，转化为：f（msinθ）＞-f（1-m）=f（m-1），
∴msinθ＞m-1，
∴m＜$\frac{1}{1-sinθ}$恒成立．
∵由0＜θ＜$\frac{π}{2}$知，0＜sinθ＜1，0＜1-sinθ＜1，$\frac{1}{1-sinθ}$＞1，
∴m≤1．
∴实数m的取值范围是（-∞，1]．
故选：B．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、不等式的性质、三角函数的值域、函数的性质，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于难题．