Question

18．已知数列{a_n}满足a₁=0，a_n+1=a_n+2$\sqrt{{a}_{n}+1}$+1
（1）求证数列{$\sqrt{{a}_{n}+1}$}是等差数列，并求出a_n的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{{a}_{n}•{2}^{n}}{n-1}$，求数列{b}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （1）变形利用等差数列的定义与通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：由a_n+1=a_n+2$\sqrt{{a}_{n}+1}$+1=$（\sqrt{{a}_{n}+1}+1）^{2}$-1，
∴$\sqrt{{a}_{n+1}+1}$-$\sqrt{{a}_{n}+1}$=1，
故数列{$\sqrt{{a}_{n}+1}$}是等差数列，首项为1，公差为1的等差数列．
∴$\sqrt{{a}_{n}+1}$=1+（n-1）$\sqrt{{a}_{1}+1}$=n，
∴a_n=n²-1．
（2）解：b_n=$\frac{{a}_{n}•{2}^{n}}{n-1}$=（n+1）•2ⁿ，
∴数列{b}的前n项的和T_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）•2ⁿ，
2T_n=2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹=2+$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-（n+1）•2ⁿ⁺¹，
可得T_n=n•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了“错位相减法”与等比数列的求和公式、等差数列的定义与通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．