Question

7．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4x，（x≥0）\\ 4x-{x^2}，（x＜0）\end{array}\right.$，若f（2-a）＞f（4+3a），则实数a的取值范围为（-∞，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数f（x）的单调性，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可．

解答 解：函数f（x），当x≥0 时，f（x）=x²+4x，由二次函数的性质知，它在[0，+∞）上是增函数，
当x＜0时，f（x）=4x-x²，由二次函数的性质知，它在（-∞，0）上是增函数，
该函数连续，则函数f（x） 是定义在R 上的增函数
∵f（2-a）＞f（4+3a），
∴2-a＞4+3a
解得a＜-$\frac{1}{2}$，
实数a 的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$）
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{2}$）

点评 本题是奇偶性与单调性结合的一类最主要的题型，利用单调性将不等式f（2-a）＞f（4+3a）转化为一元二次不等式，求出实数a 的取值范围，属于中档题．