Question

3．若函数y=f（x）存在反函数y=f^-1（x），且函数$y=tan\frac{πx}{6}-f（x）$图象过$（2，\sqrt{3}-\frac{1}{3}）$，则函数$y={f^{-1}}（x）-\frac{π}{2}$的图象一定过$（{\frac{1}{3}，2-\frac{π}{2}}）$．

Answer 1

分析 由函数y=f（x）的反函数为y=f^-1（x），且函数$y=tan\frac{πx}{6}-f（x）$的图象过点$（2，\sqrt{3}-\frac{1}{3}）$，代入计算出函数y=f（x）的图象过哪一个点，根据原函数与反函数图象的关系，我们易得函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）过什么点，进而得到函数$y={f^{-1}}（x）-\frac{π}{2}$的图象过的定点．

解答 解：∵函数$y=tan\frac{πx}{6}-f（x）$的图象过点$（2，\sqrt{3}-\frac{1}{3}）$，
∴$\sqrt{3}$-$\frac{1}{3}$=tan$\frac{π}{3}$-f（2），
即f（2）=$\frac{1}{3}$，
即函数y=f（x）的图象过点（2，$\frac{1}{3}$），
则函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）过（$\frac{1}{3}$，2）点，
∴函数$y={f^{-1}}（x）-\frac{π}{2}$的图象一定过点（$\frac{1}{3}$，2-$\frac{π}{2}$），
故答案为：$（{\frac{1}{3}，2-\frac{π}{2}}）$．

点评 本题考查反函数的性质，考查反函数的对称性，属于基础题．