题目内容
12．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$在某一个周期的图象时，列表并填入了部分数据，如表：| ωx+φ | 0 | $\frac{π}{2}$ | π | $\frac{3π}{2}$ | 2π |
| x | x1 | $\frac{1}{3}$ | x2 | $\frac{7}{3}$ | x3 |
| Asin（ωx+φ）+B | 0 | $\sqrt{3}$ | 0 | -$\sqrt{3}$ | 0 |
（2）若3sin2$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$mf（$\frac{x}{π}$-$\frac{2}{3}$）≥m+2对任意x∈[0，2π]恒成立，求实数m的取值范围．
分析 （1）由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组，求得ω、φ的值，得到函数解析式，进一步求得x1、x2、x3；
（2）分离参数，构造函数，利用换元法，根据函数的单调性求出函数的最值小值，即可求m的取值范围．
解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}ω+φ=\frac{π}{2}}\\{\frac{7}{3}ω+φ=\frac{3π}{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{ω=\frac{π}{2}}\\{φ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{2}{x}_{1}+\frac{π}{3}=0}\\{\frac{π}{2}{x}_{2}+\frac{π}{3}=π}\\{\frac{π}{2}{x}_{3}+\frac{π}{3}=2π}\end{array}\right.$，
∴x1=-$\frac{2}{3}$，x2=$\frac{4}{3}$，x3=$\frac{10}{3}$．
又∵A=$\sqrt{3}$，B=0，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$）．
（2）∵3sin2$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$mf（$\frac{x}{π}$-$\frac{2}{3}$）≥m+2对任意x∈[0，2π]恒成立，
∴3sin2$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$msin$\frac{x}{2}$-m-2≥0，
设sin$\frac{x}{2}$∈[0，1]，
则m≤$\frac{3si{n}^{2}\frac{x}{2}-2}{3sin\frac{x}{2}+1}$，
设t=3sin$\frac{x}{2}$+1，t∈[1，4]，则sin$\frac{x}{2}$=$\frac{t-1}{3}$
∴y=$\frac{3×\frac{1}{9}（t-1）^{2}-2}{t}$=$\frac{{t}^{2}-2t-5}{3t}$=$\frac{1}{3}$（t-$\frac{5}{t}$-2）在[1，4]上是增函数
∴t=1时，ymin=-2，
∴m≤-2
点评 本题考查三角函数的解析式的求法，函数的周期，函数的值域的求法，恒成立问题，属于中档题．
一卷搞定系列答案
名校作业本系列答案
轻巧夺冠周测月考直通名校系列答案| A． | $\frac{1}{8}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | 2 |
| A． | x1＞x2 | B． | x1＜x2 | C． | x1+x2＞0 | D． | x1+x2＜0 |
| A． | p是q的充分不必要条件 | |
| B． | p是q的充分条件，但不是q的必要条件 | |
| C． | p是q的必要条件，但不是q的充分条件 | |
| D． | p既不是q的必要条件，也不是q的充分条件 |
| A． | 9 | B． | 5 | C． | 3 | D． | -5 |
| A． | ?x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1 | B． | ?x0∉（0，+∞），lnx0=x0-1 | ||
| C． | ?x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1 | D． | ?x0∉（0，+∞），lnx0=x0-1 |