Question

5．袋中有3个红球2个黑球，现从中不放回地抽取3次．
（1）求恰好在第三次抽到红球的概率
（2）求抽出红球次数X的分布列、期望和方差．

Answer 1

分析 （1）恰好在第三次抽到红球的概率P=$\frac{2}{5}×\frac{1}{4}$×$\frac{3}{3}$．
（2）由题意可得X的取值为：1，2，3．利用（1）可得P（X=1）=$\frac{1}{10}×3$，P（X=3）=$\frac{{A}_{3}^{3}}{{A}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$，P（X=2）=1-P（X=1）-P（X=3）．即可得出其分布列、数学期望与方差．

解答 解：（1）恰好在第三次抽到红球的概率P=$\frac{2}{5}×\frac{1}{4}$×$\frac{3}{3}$=$\frac{1}{10}$．
（2）由题意可得X的取值为：1，2，3．
P（X=1）=$\frac{1}{10}×3$=$\frac{3}{10}$，
P（X=3）=$\frac{{A}_{3}^{3}}{{A}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$，P（X=2）=1-P（X=1）-P（X=3）=$\frac{3}{5}$．
其分布列为：

X	1	2	3
P（X）	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

∴E（X）=$1×\frac{3}{10}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{5}$．
D（X）=$（1-\frac{9}{5}）^{2}×\frac{3}{10}$+$（2-\frac{9}{5}）^{2}×\frac{3}{5}$+$（3-\frac{9}{5}）^{2}×\frac{1}{10}$=$\frac{29}{125}$．

点评 本题考查了离散性随机变量的分别列及其数学期望与方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．