题目内容

设，是椭圆 上的两点，已知向量m，n，若mn且椭圆的离心率，短轴长为2，为坐标原点。

（1）求椭圆的方程；

（2）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。

 

 

【答案】

 

(1) 

(2)  1

【解析】

解：（Ⅰ）∵由题意知，， 

则，    ∴椭圆的方程为   ………………4分

    (2)①当直线斜率不存在时，即，由

               得

            又在椭圆上， 所以

               

         所以三角形的面积为定值.                        ………………6分

          ②当直线斜率存在时：设的方程为

          

        必须 即

        得到， 

         ∵，∴

        代入整理得： 

          

           …………………12分

         所以的面积为定值.

 

练习册系列答案
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已知椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
3
2
，短轴长为2．设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），是椭圆上的两点，向量
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，且
m
.
n
=0，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
以O为原点，
OF
所在直线为x轴，建立直角坐标系．设
OF
•
FG
=1，点F的坐标为（t，0），t∈[3，+∞）．点G的坐标为（x0，y0）．
（1）求x0关于t的函数x0=f（t）的表达式，并判断函数f（x）的单调性．
（2）设△OFG的面积S=
31
6
t，若O以为中心，F，为焦点的椭圆经过点G，求当|
OG
|取最小值时椭圆的方程．
（3）在（2）的条件下，若点P的坐标为(0，
9
2
)，C，D是椭圆上的两点，
PC
=λ
PD
(λ≠1)，求实数λ的取值范围．

(本小题满分12分)

  设A,B是椭圆上的两点，为坐标原点.

 （Ⅰ）设，,

  .求证:点M在椭圆上;

 （Ⅱ）若,求的最小值.

 

 

 

设是椭圆上的两点，已知向量,若且椭圆的离心率e=,短轴长为，为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由

 

 

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