Question

如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北
偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点
到A的距离比到B的距离远2 km．．现要在曲线PQ上选一处
M建一座码头，向B、C两地转运货物．那么这两条公路MB、
MC的路程之和最短是　             km

Answer 1

如图，将A，B放入直角坐标系中。由河岸上任意一点到A的距离比到B的距离远2KM。知河岸为双曲线的一支。为了方便，设所在的直线为轴，它们的中点为原点。

则可得到.在北偏东，则.
设，则设①，且②.
所以当①最小时，上面两式联立，得，为最小，此时在同一条直线上。
此时。所以 有的最小值为
本题可以根据双曲线的定义来解题，为简化计算可以利用A点。如果求出双曲线的方程，计算将非常繁琐。