Question

10．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S=$\frac{1}{2}$bcsinA，若S+a²=（b+c）²，则cosA等于（　　）

• A． -$\frac{15}{17}$
• B． -$\frac{4}{5}$
• C． $\frac{15}{17}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 利用余弦定理、三角形面积计算公式可得：sinA=4cosA+4，与sin²A+cos²A=1，联立即可得出．

解答 解：∵cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=（b+c）²-a²=b²+c²-a²+2bc，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=2bccosA+2bc，
∴sinA=4cosA+4，
又sin²A+cos²A=1，
联立可得：17cos²x+32cosx+15=0，解得cosA=-$\frac{15}{17}$或-1（舍去）．
故选：A．

点评 本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．