Question

8．已知a，b，c∈R，且a²+b²+c²=1
（1）求证：|a+b+c|≤$\sqrt{3}$
（2）若不等式|2x+1|+|x-1|≥（a+b+c）²对一切实数a，b，c都成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用柯西不等式得，（a+b+c）²≤（1²+1²+1²）（a²+b²+c²）=3；
（2）同理，（a-b+c）²≤[1²+（-1）²+1²]（a²+b²+c²）=3，问题等价于|2x+1|+|x-1|≥3．

解答 解：（1）由柯西不等式得，（a+b+c）²≤（1²+1²+1²）（a²+b²+c²）=3
所以-$\sqrt{3}$≤a+b+c≤$\sqrt{3}$
所以：|a+b+c|≤$\sqrt{3}$；                  …（5分）
（2）同理，（a-b+c）²≤[1²+（-1）²+1²]（a²+b²+c²）=3      …（7分）
若不等式|2x+1|+|x-1|≥（a-b+c）²对一切实数a，b，c恒成立，
则|2x+1|+|x-1|≥3，
x$＜-\frac{1}{2}$时，-2x-1-x+1≥3，∴x≤-1，∴x≤-1
-$\frac{1}{2}$≤x＜1时，2x+1-x+1≥3，∴x≥1，∴x∈∅，
x≥1时，2x+1+x-1≥3，∴x≥1，∴x≥1
∴x的取值范围为（-∞，-1]∪[1，+∞）                 …（10分）

点评 本题考查柯西不等式，考查恒成立问题，正确运用柯西不等式是关键．