Question

10．设函数f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的图象与x轴相切与M（3，0）．
（1）求f（x）得解析式，并求y=$\frac{f（x）}{x}$+4lnx的单调减区间；
（2）是否存在两个不等正数s，t（s＜t），满足$\left\{\begin{array}{l}{f（s）=t}\\{f（t）=s}\end{array}\right.$，若存在，求出所有这样的正数s，t，否则请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f（3）=0，f′（3）=0，求出a，b的值，从而求出f（x）的表达式，求出y=$\frac{f（x）}{x}$+4lnx的导数，得到其单调减区间；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{f（s）=t}\\{f（t）=s}\end{array}\right.$，得到关于s，t的方程组，判断出s，t是方程x²-3x+1=0的两根，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{f（3）=0}\\{f′（3）=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-6}\\{b=9}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x³-6x²+9x，
y=$\frac{f（x）}{x}$+4lnx=x²-6x+9+4lnx，
y′=$\frac{2（x-1）（x-2）}{x}$＜0，（x＞0），
∴1＜x＜2，
∴y=$\frac{f（x）}{x}$+4lnx的单调减区间是（1，2）；
（2）若存在两个不等正数s，t（s＜t），满足$\left\{\begin{array}{l}{f（s）=t}\\{f（t）=s}\end{array}\right.$，
两式相减并除s-t得：（s+t）²-6（s+t）-st+10=0①，
两式相除并开方得[s（s-3）]²=[t（t-3）]²，
即s（3-s）=t（3-t），整理得：s+t=3②，
则由①②可得$\left\{\begin{array}{l}{s+t=3}\\{st=1}\end{array}\right.$，
即s，t是方程x²-3x+1=0的两根，即存在s=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，t=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$满足要求．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．