Question

17．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=4，则正四棱柱的外接球的表面积为24π．

Answer 1

分析 根据正四棱柱的各顶点均在同一球的球面上，则正四棱柱的体对角线等于球的直径，然后求出球的半径，进而可求球的表面积．

解答 解：∵正四棱柱的各顶点均在同一球的球面上，
∴正四棱柱的体对角线等于球的直径，
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=4，
∴正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体对角线l=$\sqrt{4+4+16}$=2$\sqrt{6}$，
∴球的直径2r=2$\sqrt{6}$，
即球的半径r=$\sqrt{6}$，
∴球的表面积为4πr²=24π，
故答案为24π．

点评 本题主要考查球的表面积公式，以及球内接长方体的关系，要求熟练掌握长方体的体对角线和球直径之间的关系是解决本题的关键．