Question

14．（1）已知a，b是常数，且a＞0，b＞0，a≠b，x，y∈（0，+∞），且x+y=m．
求证：$\frac{a^2}{x}$+$\frac{b^2}{y}$≥$\frac{{{{（a+b）}^2}}}{m}$，并指出等号成立的条件；
（2）求函数f（x）=$\frac{12}{x}$+$\frac{9}{1-3x}$，x∈（0，$\frac{1}{3}$）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式的性质即可证明．
（2）利用上述结论即可得出．

解答 （1）证明：$（\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}）m=（\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}）（x+y）={a^2}+\frac{{{a^2}y}}{x}+\frac{{{b^2}x}}{y}+{b^2}≥{a^2}+2\sqrt{\frac{{{a^2}y}}{x}•\frac{{{b^2}x}}{y}}+{b^2}$
=a²+2ab+b²=（a+b）²，$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}≥\frac{{（a+b{）^2}}}{m}$．
当且仅当$\frac{{{a^2}y}}{x}=\frac{{{b^2}x}}{y}$，即$\frac{a}{b}=\frac{x}{y}$时，等号成立．
（2）解：∵$x∈（0，\frac{1}{3}）$，∴1-3x＞0，
∴$f（x）=\frac{12}{x}+\frac{9}{1-3x}=（\frac{36}{3x}+\frac{9}{1-3x}）•1=（\frac{6^2}{3x}+\frac{3^2}{1-3x}）•[3x+（1-3x）]≥{（6+3）^2}=81$，
当且仅当$\frac{6}{3}=\frac{3x}{1-3x}$，即$x=\frac{2}{9}$时，f（x）_min=81．

点评 本题考查了基本不等式的性质及其应用、函数的最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．