Question

3．定义在R上的函数f（x）满足（x-1）f′（x）≤0，且f（-x）=f（2+x），当|x₁-1|＜|x₂-1|时，有（　　）

• A． f（2-x₁）≥f（2-x₂）
• B． f（2-x₁）=f（2-x₂）
• C． f（2-x₁）＞f（2-x₂）
• D． f（2-x₁）≤f（2-x₂）

Answer 1

分析 ①若函数f（x）为常数，可得当|x₁-1|＜|x₂-1|时，恒有f（2-x₁）=f（2-x₂）．②若f（x）不是常数，可得y=f（x）关于x=1对称．当x₁≥1，x₂≥1，则由|x₁-1|＜|x₂-1|，可得f（x₁）＞f（x₂）．当x₁＜1，x₂＜1时，同理可得f（x₁）＞f（x₂）．综合①②得出结论．

解答 解：①若f（x）=c，则f'（x）=0，此时（x-1）f'（x）≤0和y=f（x+1）为偶函数都成立，
此时当|x₁-1|＜|x₂-1|时，恒有f（2-x₁）=f（2-x₂）．
②若f（x）不是常数，因为函数y=f（x+1）为偶函数，所以y=f（x+1）=f（-x+1），
即函数y=f（x）关于x=1对称，所以f（2-x₁）=f（x₁），f（2-x₂）=f（x₂）．
当x＞1时，f'（x）≤0，此时函数y=f（x）单调递减，当x＜1时，f'（x）≥0，此时函数y=f（x）单调递增．
若x₁≥1，x₂≥1，则由|x₁-1|＜|x₂-1|，得x₁-1＜x₂-1，即1≤x₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂）．
同理若x₁＜1，x₂＜1，由|x₁-1|＜|x₂-1|，得-（x₁-1）＜-（x₂-1），即x₂＜x₁＜1，所以f（x₁）＞f（x₂）．
若x₁，x₂中一个大于1，一个小于1，不妨设x₁＜1，x₂≥1，则-（x₁-1）＜x₂-1，
可得1＜2-x₁＜x₂，所以f（2-x₁）＞f（x₂），即f（x₁）＞f（x₂）．
综上有f（x₁）＞f（x₂），即f（2-x₁）＞f（2-x₂），
故选A．

点评 本题主要考查函数的导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题