Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆C和抛物线y²=x交于M，N两点，且直线MN恰好通过椭圆C的右焦点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）A为椭圆的右顶点，经过原点的直线和椭圆C交于B，D两点，设直线AB与AD的斜率分别为k₁，k₂．问k₁•k₂是否为定值？若为定值，请求出；否则，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，设a=2λ，c=$\sqrt{2}λ$，b=$\sqrt{2}λ$，其中λ＞0，把M（c，$±\sqrt{c}$），代入椭圆中得$λ=\sqrt{2}$，由此能求出椭圆C的标准方程．
（II）设B（x₀，y₀），（y₀＞0），则D（-x₀，-y₀），且$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，由此能推导出k₁•k₂=-$\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}$为定值．

解答 解：（I）由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，设a=2λ，c=$\sqrt{2}λ$，b=$\sqrt{2}λ$，其中λ＞0，
由已知M（c，$±\sqrt{c}$），代入椭圆中得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{c}{{b}^{2}}$=1，
即$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}λ}{2{λ}^{2}}$=1，解得$λ=\sqrt{2}$，
从而a=2$\sqrt{2}$，b=2，c=2，
故椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．…（5分）
（II）k₁，k₂为定值，…（6分）
下面给出证明．
证明：设B（x₀，y₀），（y₀＞0），则D（-x₀，-y₀），且$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，…（7分）
而k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}（1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}）}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，…（9分）
由（I）知a²=8，b²=4，∴k₁•k₂=-$\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}$为定值．…（10分）

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查两直线的斜率乘积是否为定值的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查等价转化思想思想，是中档题．