Question

(2006天津，20)已知函数，其中，θ为参数，且．

(1)当cos=0时，判断函数f(x)是否有极值；

(2)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围；

(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间(2a－1，a)内都是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)当cos=0时，，则f(x)在内是增函数，故无极值． (2)，令，得，． 由(1)，只需分下面两种情况讨论． ①当cos＞0时，随x的变化，的符号及f(x)的变化情况如下表： 因此，函数f(x)在处取得极小值， 且． 要使，必有， 可得． 由于，故或． ②当cos＜0时，随x的变化，的符号及f(x)的变化情况如下表： 因此，函数f(x)在x=0处取得极小值f(0)， 且． 若f(0)＞0，则cos＞0矛盾．所以当cos＜0时，f(x)的极小值不会大于零． 综上，要使函数f(x)在内的极小值大于零，参数的取值范围为． (3)由(2)知，函数f(x)在区间与内都是增函数． 由题设，函数f(x)在(2a－1，a)内是增函数，则a须满足不等式组或 由(2)，参数时，．要使不等式关于参数θ恒成立，必有，即 ．综上，解得或．所以a的取值范围是 ．

提示：

剖析：本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法．